Применение производной (?) Урок 25.10

ДЗ (на каникулы)

БУДЕТ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ПО ИДЗ!!!! СРАЗУ ПОСЛЕ КАНИКУЛ!!!!!
Файл 05.01
№ 1-8 по 2-3 примера
Файл 04.3
$\forall$ 4 задания

---

Снизу задачи из номеров 7-8

№7 (?)

$a\in y=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$
$b\in x^2+2x-10y+25$
Найти $\min AB$

min AO

$(x^2+2x+1)-1+(y^2-10y+25)-25+25$
$(x+1{)}^2+(y-5{)}^2=1$
$O(-1;5);R=1$
$A(X;\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4})$
$Fx=p^2(O;A)=(x+1{)}^2+(\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{11}{4}))$
в латехе нет значка для расстояния. p - это расстояние

$F^{\prime }(x)=2(x+1)1+2(\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}-\frac{11}{4})(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})$
$F^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{4}-\frac{25}{4}$

$\frac{1}{4}{x}^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{4}-\frac{25}{4}=0$

$x=1$ Подходит. Поделим на (x-1) и умножим на 4

$F^{\prime }(x)=\frac{1}{4}(x-1)(x^2+10x+25)$
$F^{\prime }(x)=\frac{1}{4}(x-1)(x+5{)}^2$

F'(x)
    -      -        +
--------|--------|------->
        -5       1    
 спад      спад     рост   
F(x) 

$F(1)=4+(\frac{1}{4}+\frac{6}{4}-\frac{11}{4}{)}^2$
$F(1)=4+1=5$
$AO=\sqrt{5}$ ⇒ $AB=\sqrt{5}-1$

---

№15 (?)

$A\in y=-\frac{1}{8}{x}^2-2x-8$
$B\in x^2+y^2+16x+12y+91$

$A(x;-\frac{1}{8}-2x-8)$

$w(O;R)$
$R=3$
$O(-8;-6)$
Наименьшее AB будет при наименьшем AO

$F(x)=p^2(O;A)=(x+8{)}^2+(\frac{1}{8}{x}^2-2x-2{)}^2$
$F(x)=(x+8{)}^2+(\frac{1}{8}{x}^2+2x+2{)}^2$
$F^{\prime }(x)=2(x+8)1+2(\frac{1}{8}{x}^2+2x+2)(\frac{1}{4}x+2)$
$F^{\prime }(x)=2x+16+\frac{1}{16}{x}^3+x^2+x+\frac{1}{2}{x}^2+8x+8$
Умножаем на 16
$F^{\prime }(x)=x^3+24x^2+176+16\ast 24=0$
Положительных корней нет :(
Подходит корень -4, выносим (x+4)
$F^{\prime }(x)=(x+4)(x^2+20x+96)=0$
$F^{\prime }(x)=(x+4)(x+12)(x+8)=0$

$F^{\prime }(x)=\frac{1}{16}(x+4)(x+12)(x+8)$

F'(x)
 -     +     -     +
-----|-----|-----|---->
    -12   -8    -4
спад   рост спад  рост

$x_m=-12$ и $x_m=-4$

$F(-4)=16+(2-8+2{)}^2$
$16+16=32$
$p(A;O)=4\sqrt{2}-3$
$F(-12)=4\sqrt{2}$

Ответ:

$4\sqrt{2}$

---

№ 8.11

$F(x)=\frac{b+1}{3}{8}^x-2\ast 4^x+(b+4)2^x+(b+1)\ln 3$
$F^{\prime }(x)=2^x\ast \ln 2((b+1)(2^x{)}^2-4\ast 2^4+(b+4))$

$2^x\ast \ln 2>0$

$t=2^x$ , $t>0$

$F^{\prime }(t)=(b+1)t^2-4t+(b+4)=0$

1 Вырожденный случай

$b=-1$ $4t+3=0$ $t=\frac{3}{4}$ , $>\frac{3}{4}>0$

F'(t)
          +        -
--------o--------|------->
        0        3/4    
          рост     спад   
F(t) 

2 Невырожденный

$b\ne -1$

$D_1=4-(b+1)(b+4)$ $D_1=-b^2-5b$ $-b^2-5b<0$

 -     +      -
---o--------o----->
   -5        0

$b\in (-\infty ;-5)\cup (0;+\infty )$

$D=0$ - Нет точек экстремума $b=0$ или $b=-5$
Нет точек экстремума на $(-\infty ;-5]\cup [0;+\infty )$

$b\ne -1$

$b\in (-5;0)$⇒$(-5,-1)\cup (-1;0)$

$F^{\prime }(x)=(b+1)t^2-4t+(b+4)$
$t=0$ - корень ⇒ $b+4=0$

$-3t(t+\frac{4}{3})=0$
$t=0$ $t=-\frac{4}{3}$

$D>0$ и $b\ne -1$
$t_{в}=\frac{2}{b+1}<0$ ⇒ $b+1<0$

$(b+1)F(0)>0$

$$\{\begin{array}{l}b\in (-5;-1)\cup (-1;0)\\ b+1<0\\ (b+1)(b+4)>0\end{array}$$

           ////////////////
------o---o---o----o----->
//////
     -5  -4  -1    0     b
???

$b\in (-5;-4)$ - нет точек экстремума

Ответ:

нет a) $(-\infty ;-4)\cup [0;+\infty )$

б) $(-4;0)$ критические точки есть

---

№ 3.6

$y=x^3-a^{2}x$ $y\cap Ox=\{A;B\}$
$y_1\cap y_2=45°$

$F(x)\cap Ox$ : $y=0$
$x(x-a)(x+a)=0$
$x_0=0;x_0=1;x_0=-a$

$y_1=k_1(x-x_0)+F(x_0)$
$y_2=k_2(x-x_2)+F(x_2)$
…
$F^{\prime }(x)=3x^2-a^2$

1) x=0 y=0

$y_1=F^{\prime }(0)(x-0)+F(0)$
$y_1=-a^2\ast x$

2) $x_0=a$

$F^{\prime }(a)=2a^2$

3) $x_0=-a$

$F^{\prime }(-a)=2a^2$
y2||y3 ⇒ $\alpha =\angle (y_1;y_2)=\angle (y_1;y_3)$
$-a^2=\mathrm{tg}\alpha$
$2a^2=\mathrm{tg}\beta$

Найти $\alpha -\beta$

$\mathrm{tg}\alpha -\beta$

$\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$

$\frac{-3a^2}{x}$ …не успел записать все шаги, кароче… $=1$

$a^2=\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}$

$\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}<0$ ⇒ $a=\pm \frac{\sqrt{3+\sqrt{17}}}{2}$