Уравнение плоскости проходящей через заданную точку в заданном направлении

$\alpha$: $A\in \alpha$ и $\vec{n}(A;B;C)$

<Картинка 1>

векторы:
$M(x_0,y_o,z_0)$ , $n(A;B;C)$

\alpha: Ax+ By + Cz + D = 0 \\ M\in \alpha => Ax_0 + B_0 + Cz_0 + D= 0 \end{cases}$$ $A(x-x_o)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ - один из вариантов уравнения плоскости <Картинка бегающая точка M> $\forall M(x;y;z) \in \alpha: \ \vec{M_0M} \perp \vec{n}$ # Уравнение плоскости, проходящее через 3 заданные точки <Иллюстрация точки M1 M2 M3> <Та же самая картинка 2 с M(x;y;z)> $\forall M(x;y;z)\in \alpha$ => $\vec{M_1M_2},\ \vec{M_1 M},\ \vec{M_1M_3}$ компонарные Тогда $\vec{M_1M_2}(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1)$ $\vec{M_1M_3}(x_3-x_1;y_3-y_1;z_3-z_1)$ $\vec{M_1M}(x-x_1;y-y_1;z-z_1)$ $\vec{M_1M_2} \cdot \vec{M_1M_3} \cdot \vec{M_1M} = 0$ (смешанное) x-x_1, y_y_1, z-z_1 x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1 Это и есть условие того, что точка $M\in$ плоскости, проходящей через точки $M_1,\ M_2, \ M_3$ # Угол между плоскостям Пусть даны 2 плоскости $\alpha: \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ $\beta: \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ Найти угол между плоскостями Угол $(\alpha; \beta) = (n_1; n_2)$ n - векторы если $\gamma \le 90\degree$ Угол $(\alpha; \beta) = 180\degree - (n_1; n_2)$ n - векторы если $\gamma > 90\degree$ $\cos{(\alpha;\beta)}=\frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$ # Условия параллельности и перпендикулярности 2 плоскостей Пусть даны 2 плоскости $\alpha: \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ $\beta: \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ => $\vec{n_1}(A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n_2}(A_2;B_2;C_2)$ $\alpha || \beta$ => $\vec{n_1}||\vec{n_2}$ => $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ Если одна или 2 из координат равна(ы) нулю: $$\begin{cases} A_1=t\cdot A_2 \\ B_1=t\cdot B_2 \\ C_1=t\cdot C_2 \end{cases}

Если $\alpha ||\beta$ ⇒ $n_1\perp n_2$ ⇒ $\overrightarrow{n_1}\ast \overrightarrow{n_2}$⇒
!! $A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$ !!

<Рисунок с декартовыми координатами o_ZXY c $\alpha$ >

Рассмотрим плоскость, заданную уравнением:
$\delta =x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma$
$M_0(x_0;y_0;z_0)\notin \delta$
$p(M_0;\delta )=q$
*p(A,B) - расстояние от A до B
Запишем нормальное уравнение плоскости, параллельной 1-ой и проходящей через точку M_0

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -(p+q)=0$
$M_0\in$ :
$x_0\cos \alpha +y_0\cos \beta +z_0\cos \gamma -(p+q)=0$
$q=x_0\cos \alpha +y_0\cos \beta +z_0\cos \gamma -p$
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки $M_0$ до $\delta$ необходимо координаты $M_0$ в уравнение $\delta$

Задача 1

$M\in O_y:$ Найти равноудаленную точку от
$\alpha :2x+3y+6z-6=0$
$\beta :8x+9y+72z-73=0$
$q=p(M;\alpha )=2\ast 0+3y_0+6\ast 0-6=3y_0-6$
$q=p(M;\beta )=8\ast 0+9y_0-72\ast 0+73=9y_0+73$

$y_0=-\frac{79}{6}$
Ответ: $M(0,-\frac{79}{6},0)$

Задача 2

Составить уравнение плоскости проходящей через $(1;1;1)$ и $(0;1;-1)$ и перпендикулярно $x+y+z=0$ $\vec{n}(1;1;1)$
$Ax+By+Cz+D=0$ $\overrightarrow{n_1}(A;B;C)$
$\vec{n}\perp \overrightarrow{n_1}$ ⇒ $A+B+C=0$

$S\in \alpha$ ⇒ $A\ast 1+B\ast 1+C\ast 1+D=0$
$Q\in \alpha$ ⇒ $A\ast 0+B\ast 1+C\ast (-1)+D=0$

A+B+C=0 \\ A+B+C+D=0 \\ B-C+D=0 \end{cases}

⇒

D=0 \\ B=C \\ A=-2C \end{cases}$$ $C=1$ $\alpha: \ -2x+y+z=0$ # Уравнение прямой в пространстве Рассмотрим в пространстве некоторую точку $M_0$ <Рисунок декартовы координаты 2 > Рассмотрим в пространстве $M_0(x_0;y_0;z_0)$ Проведем прямую $l: \ M_0\in l$ $\forall M \in l$ $M(x;y;z)$ $\vec{p}(a;b;c) \ || \ l$ - направляющий вектор $\forall M \in l: \vec{M_0 M} || \vec{p}$ $\vec{M_0 M}(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ при $a*b*c \not=0$ $\frac{x-x_0}{\alpha}=\frac{y-y_0}{\cos{\beta}}=\frac{z-z_0}{\cos{\gamma}}$ Если существует a или b или c = 0 => $$\begin{cases} x-x_0=t\cdot \cos{\alpha} \\ y-y_0=t\cdot \cos{\beta} \\ z-z_0=t\cdot \cos{\gamma} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x=x_0 + t\cdot a \\ y=y_0 + t\cdot b \\ z=z_0 + t\cdot c \\ t\in R \end{cases}$$ $$\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ Mx + Ny + Kz + L = 0 \end{cases}$$ Где $\alpha$ не параллельно $\beta$ **Названия крутые** $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ - каноническое $$\begin{cases} x=x_0 + t\cdot a \\ y=y_0 + t\cdot b \\ z=z_0 + t\cdot c \\ t\in R \end{cases}$$ - параметрическое $$\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ Mx + Ny + Kz + L = 0 \end{cases}$$ - общее От общего уравнения прямой можно перейти к каноническому. Для этого достаточно найти хотя бы одну точку, принадлежащею прямой Подставляем в систему $M_0(x_0;y_0;z_0)$ $$\begin{cases} Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0 \\ Mx_0 + Ny_0 + Kz_0 + L = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} Ax_0 + By_0 = - Cz_0 - D \\ Mx_0 + Ny_0 = - Kz_0 - L \end{cases}$$ Направляющий $\vec{n} \perp \vec{n_1}(A;B;C)$ $\vec{n} \perp \vec{n_2}(M;N;K)$ $\vec{n}=(\vec{n_1}\times \vec{n_2})$ Типо табличка \vec{i} \vec{j} \vec{k} A B C M N K $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ - направляющие орты осей координат Угол между 2 прямыми <Рисунок 2 прямые $\vec{a}, l ; \vec{n}, m$> $l: \ \frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1}$ $m: \ \frac{x-x_2}{m_2} = \frac{y-y_2}{n_2} = \frac{z-z_2}{p_2}$ $\vec{a}(m_1;n_1;p_1)$ $\vec{n}(m_2;n_2;p_2)$