ДЗ (на каникулы)
БУДЕТ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ПО ИДЗ!!!! СРАЗУ ПОСЛЕ КАНИКУЛ!!!!!
Файл 05.01
№ 1-8 по 2-3 примера
Файл 04.3
∀ 4 задания
Снизу задачи из номеров 7-8
№7 (?)
a ∈ y = 4 1 x 2 + 2 3 x + 4 9
b ∈ x 2 + 2 x − 10 y + 25
Найти min A B
min AO
( x 2 + 2 x + 1 ) − 1 + ( y 2 − 10 y + 25 ) − 25 + 25
( x + 1 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 1
O ( − 1 ; 5 ) ; R = 1
A ( X ; 4 1 x 2 + 2 3 x + 4 9 )
F x = p 2 ( O ; A ) = ( x + 1 ) 2 + ( 4 1 x 2 + 2 3 x + 4 11 ))
в латехе нет значка для расстояния. p - это расстояние
F ′ ( x ) = 2 ( x + 1 ) 1 + 2 ( 4 1 x 2 + 2 3 − 4 11 ) ( 2 1 x + 2 3 )
F ′ ( x ) = 4 1 x 3 + 4 9 x 2 + 4 15 − 4 25
4 1 x 3 + 4 9 x 2 + 4 15 − 4 25 = 0
x = 1 Подходит. Поделим на (x-1) и умножим на 4
F ′ ( x ) = 4 1 ( x − 1 ) ( x 2 + 10 x + 25 )
F ′ ( x ) = 4 1 ( x − 1 ) ( x + 5 ) 2
F'(x)
- - +
--------|--------|------->
-5 1
спад спад рост
F(x)
F ( 1 ) = 4 + ( 4 1 + 4 6 − 4 11 ) 2
F ( 1 ) = 4 + 1 = 5
A O = 5 ⇒ A B = 5 − 1
№15 (?)
A ∈ y = − 8 1 x 2 − 2 x − 8
B ∈ x 2 + y 2 + 16 x + 12 y + 91
A ( x ; − 8 1 − 2 x − 8 )
w ( O ; R )
R = 3
O ( − 8 ; − 6 )
Наименьшее AB будет при наименьшем AO
F ( x ) = p 2 ( O ; A ) = ( x + 8 ) 2 + ( 8 1 x 2 − 2 x − 2 ) 2
F ( x ) = ( x + 8 ) 2 + ( 8 1 x 2 + 2 x + 2 ) 2
F ′ ( x ) = 2 ( x + 8 ) 1 + 2 ( 8 1 x 2 + 2 x + 2 ) ( 4 1 x + 2 )
F ′ ( x ) = 2 x + 16 + 16 1 x 3 + x 2 + x + 2 1 x 2 + 8 x + 8
Умножаем на 16
F ′ ( x ) = x 3 + 24 x 2 + 176 + 16 ∗ 24 = 0
Положительных корней нет :(
Подходит корень -4, выносим (x+4)
F ′ ( x ) = ( x + 4 ) ( x 2 + 20 x + 96 ) = 0
F ′ ( x ) = ( x + 4 ) ( x + 12 ) ( x + 8 ) = 0
F ′ ( x ) = 16 1 ( x + 4 ) ( x + 12 ) ( x + 8 )
F'(x)
- + - +
-----|-----|-----|---->
-12 -8 -4
спад рост спад рост
x m = − 12 и x m = − 4
F ( − 4 ) = 16 + ( 2 − 8 + 2 ) 2
16 + 16 = 32
p ( A ; O ) = 4 2 − 3
F ( − 12 ) = 4 2
Ответ:
4 2
№ 8.11
F ( x ) = 3 b + 1 8 x − 2 ∗ 4 x + ( b + 4 ) 2 x + ( b + 1 ) ln 3
F ′ ( x ) = 2 x ∗ ln 2 (( b + 1 ) ( 2 x ) 2 − 4 ∗ 2 4 + ( b + 4 ))
2 x ∗ ln 2 > 0
t = 2 x , t > 0
F ′ ( t ) = ( b + 1 ) t 2 − 4 t + ( b + 4 ) = 0
1 Вырожденный случай
b = − 1
4 t + 3 = 0
t = 4 3 , > 4 3 > 0
F'(t)
+ -
--------o--------|------->
0 3/4
рост спад
F(t)
2 Невырожденный
b = − 1
D 1 = 4 − ( b + 1 ) ( b + 4 )
D 1 = − b 2 − 5 b
− b 2 − 5 b < 0
- + -
---o--------o----->
-5 0
b ∈ ( − ∞ ; − 5 ) ∪ ( 0 ; + ∞ )
D = 0 - Нет точек экстремума b = 0 или b = − 5
Нет точек экстремума на ( − ∞ ; − 5 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
b = − 1
b ∈ ( − 5 ; 0 ) ⇒ ( − 5 , − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 )
F ′ ( x ) = ( b + 1 ) t 2 − 4 t + ( b + 4 )
t = 0 - корень ⇒ b + 4 = 0
− 3 t ( t + 3 4 ) = 0
t = 0 t = − 3 4
D > 0 и b = − 1
t в = b + 1 2 < 0 ⇒ b + 1 < 0
( b + 1 ) F ( 0 ) > 0
⎩ ⎨ ⎧ b ∈ ( − 5 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) b + 1 < 0 ( b + 1 ) ( b + 4 ) > 0
////////////////
------o---o---o----o----->
//////
-5 -4 -1 0 b
???
b ∈ ( − 5 ; − 4 ) - нет точек экстремума
Ответ:
нет
a) ( − ∞ ; − 4 ) ∪ [ 0 ; + ∞ )
б) ( − 4 ; 0 ) критические точки есть
№ 3.6
y = x 3 − a 2 x y ∩ O x = { A ; B }
y 1 ∩ y 2 = 45°
F ( x ) ∩ O x : y = 0
x ( x − a ) ( x + a ) = 0
x 0 = 0 ; x 0 = 1 ; x 0 = − a
y 1 = k 1 ( x − x 0 ) + F ( x 0 )
y 2 = k 2 ( x − x 2 ) + F ( x 2 )
…
F ′ ( x ) = 3 x 2 − a 2
1) x=0 y=0
y 1 = F ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + F ( 0 )
y 1 = − a 2 ∗ x
2) x 0 = a
F ′ ( a ) = 2 a 2
3) x 0 = − a
F ′ ( − a ) = 2 a 2
y2||y3 ⇒ α = ∠ ( y 1 ; y 2 ) = ∠ ( y 1 ; y 3 )
− a 2 = tg α
2 a 2 = tg β
Найти α − β
tg α − β
1 + t g α t g β t g α − t g β
x − 3 a 2 …не успел записать все шаги, кароче… = 1
a 2 = 4 3 ± 17
4 3 ± 17 < 0 ⇒ a = ± 2 3 + 17