Показательные уравнения урок 11.11.24

ДЗ

Файл 01 ДМ № 1 - 49 (чётные)

$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $a>0a\ne 1$ $f(x)=g(x)$

Пример 1

$(\frac{4}{7}{)}^{x+3\sqrt{x}+1}=(1.75{)}^{-\sqrt{x}-4}$ ${\frac{4}{7}}^{x+3\sqrt{x}+1}={\frac{4}{7}}^{\sqrt{x}+4}$ $x\ge 0$

$x+3\sqrt{x}+1=\sqrt{x}+4$ $t=\sqrt{x}t\ge 0$ $t^2+2t-3=0$ $t=1$ или $t=-3$ $\sqrt{x}=1$ нет корней $x=1$

Пример 2

$(\frac{2}{5}{)}^{x^2-3}\ast (\frac{125}{8}{)}^{x^2-3}=(\frac{16}{625}{)}^x$ $(\frac{25}{4}{)}^{x^2-3}=(\frac{16}{625}{)}^x$ $(\frac{25}{4}{)}^{x^2-3}=(\frac{25}{4}{)}^{-2x}$ $x^2-3=-2x$ $x^2+2x-3=0$ $x=1$ или $x=-1$

Ответ

$x=1$ $x=-1$

№22

$\sqrt{5^{5\sqrt{x}}}x=5^{\sqrt{x}-4}$

x\ge0 \\ x \in N \ / 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x\ge2 \\ x \in N \end{cases}$$ $\frac{5}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-4$2 $\frac{5-x+4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=0$ $$\begin{cases} x-4\sqrt{x}-5=0 \\ \sqrt{x}\not=0 \end{cases}$$ $\sqrt{x}=5$ или $\sqrt{-1}$ => корней нет $$\begin{cases} x = 25 \\ x \in N, \ \ x\ge2 \end{cases}$$ # №40 $3^{x-5}+3^{x-7}+3^{x-9}=45,5 + 22,75 + 11,3757 ...$ правая часть - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $b_1=45,5$ ; $q=\frac{1}{2}$ $S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{45,5}{1-\frac{1}{2}}=91$ $3^{x-9}(3^4 + 3^2+1)=91$ $:91$ $3^{x-9}=1$ $3^{x-9}=3^0$ $x-9=0$ ## Ответ $x=9$ ## №34 $\sqrt{3^{x-54}}-7\sqrt{3^{x-58}}=162$ $t=\sqrt{3^{x-58}}$ $\sqrt{3^{x-54}}=9t$ $9t-7t=162$ $t=81$ $\sqrt{3^{x-58}}=3^4, \ \ 3^4\ge0$ $3^{\frac{x-58}{2}}=3^4$ $x-58=8$ ## Ответ $x=66$ # №46 $3^{\sqrt{x}}-5^{\sqrt{x}}=5^{\sqrt{x}+1}-3^{\sqrt{x}+1} + 5^{\sqrt{x}+2}-3^{\sqrt{x}+3}$ $3^{\sqrt{x}}(1+3+3^3)=5^{\sqrt{x}}(5+25+1) \ \ \ :31$ $3^{\sqrt{x}}=5^{\sqrt{x}} \ \ \ :5^{\sqrt{x}}$ $(\frac{3}{5})^{\sqrt{x}}=(\frac{3}{5})^{0}$ $\sqrt{x} = 0$ ## Ответ $x=0$ # №45 $5^{x^2}-3^{x^2+1}=2(5^{x^2-1}-3^{x^2-1})$ $2*3^{x^2-2}-3^{x^2+1}=2*5^{x^2-1}-5^{x^2}$ $3^{x^2-2}(2-3^3)=5^{x^2-2}(2-5^1-5^2) \ \ \ \:-1:75$ $\frac{3^{x^2-2}}{3}=\frac{5^{x^2-2}}{5}$ $(\frac{3}{5})^{x^2-3}=(\frac{3}{5})^0$ $x^2-3=0$ ## Ответ $x=\pm\sqrt{3}$