Иррациональные уравнения и неравенства с параметром Урок 23.10

ДЗ

Файл 08.1

• №11.1 - 11.10
• Выборочно: №11.11-11.33

---

№1 Для всех параметров а решить уравнение

$\sqrt{x^2+1}+x=a$

Преобразования

$$\sqrt{x^2+1}+x=a$$ $$\sqrt{x^2+1}=a-x$$ $$\{\begin{array}{l}{x}^2-1=(a-x{)}^2\\ a-x\ge 0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}{x}^2-1=a^2-2ax+x^2\\ x\le a\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}2ax=a^2+1\\ x\le a\end{array}$$

---

Исследование

1) Вырожденный случай

$a=0$ ⇒ $0=1$

2) $a\ne 0$

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{a^2+1}{2a}\\ x\le a\end{array}$$ $$\frac{a^2+1}{2a}\le a$$ $$\frac{a^2+1-2a^2}{2a}\le 0$$ $$\frac{(1-a)(a+1)}{2a}\le 0$$

  +     -    +    -
-----.-----o-----.-----> a
    -1     0     1  

---

Ответ

$a\in (-\infty ,-1)\cup [0;1)$ - корней нет

$a\in [-1;0)\cup [1;+\infty ]$ ⇒ $x=\frac{2a+1}{2a}$

---

№2 Для всех параметров а решите уравнение

$\sqrt{x-a}=3-x$

Преобразования

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x-a=(3-x{)}^2\\ 3-x\le 0\end{array} \\ \{\begin{array}{l}x-a=9-6x+x^2(I)\\ 3\le 2\end{array} \end{gathered}$$

---

Исследования

1) $x^2-7x+(9+a)=0$

1. $D<0$

$13-4a<0$
$a>3\frac{1}{4}$

при $a>3\frac{1}{4}$ нет корней

---

2. $D\ge 0$

$D=49-4\ast 9-4a=13-4a$

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{7\pm \sqrt{13-4a}}{2}\\ x\le 3\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x=3,5\pm \frac{\sqrt{13-4a}}{2}\\ x\le 3\end{array}$$

$x=3,5+\frac{\sqrt{13-4a}}{2}$ - не удовлетворяет условию задачи

---

$$\{\begin{array}{l}x=3,5-\frac{\sqrt{13-4a}}{2}\\ x\le 3\end{array}$$

$3,5-\frac{\sqrt{13-4a}}{2}\le 3$

$\frac{\sqrt{13-4a}}{2}\ge \frac{1}{2}$

$\sqrt{13-4a}\ge 1$, $1\ge 0$

$13-4a\ge 1$

$a\le 3$

---

Графически

$a=-x^2+7x-9$

<Я хз как графики тут рисовать кароче, парабола ветвями вниз и все такое>

---

Ответ

при $a>3$ $x\in \varnothing$ при $a\le 3$ $x=3,5-\frac{\sqrt{13-4a}}{2}$

---

№4 Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x+a}$ при a >0

Преобразования

Так как левая часть и правая часть уравнения неотрицательные ⇒ данное уравнение равносильно уравнению:

$$\{\begin{array}{l}3x+4+x-4+2\sqrt{3x+4}\sqrt{x-4}=4(x+a)\\ 3x+4\ge 0\\ x-4\ge 0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}4x+2\sqrt{3x+4}\sqrt{x-4}=4x+4a\\ 3x+4\ge 0\\ x-4\ge 0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}\sqrt{3x+4}\sqrt{x-4}=2a\\ 3x+4\ge 0\\ x-4\ge 0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}\sqrt{3x+4}\sqrt{x-4}=2a\\ x\ge 4\end{array}$$

Т.к $a>0$ по условию ⇒ 1-e уравнение системы равносильно:
$(3x+4)(x-4)=4a^2$

$$3x^2-8x-(16+4a^2)=0$$

---

Исследование

1) $D<0$

$D_1=16+3(16+4a^2)$
$D_1=12a^2+64>0$ выполняется при $\forall a$

2) X вершины

$x_{в}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

<Представьте тут эскиз графика с данными, которые мы сейчас нашли, это вроде важная часть решения и всё такое, но мне пофиг 😛>

$$\{\begin{array}{l}D>0\\ x_{в}<4\\ F(4)\le 0\end{array}$$

$F(4)=48-32-(16+4a)=-4a$ !!! $\le 0$
По условию $a>0$ ⇒ всегда есть 1 корень

---

Ответ

При $\forall a>0$ существует единственный корень!